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    《中國通史》

    第七卷·(一)天文學與數學

      (一)天文學與數學 天文學宋朝歷法一共改了十九次,是我國歷史上歷法改革頻繁的一個朝代。歷法的不斷改革,反映了天文學研究的活躍。

      宋朝天文學的發展可分為三個階段。北宋初到神宗前,歷法以崇天歷為代表,主要成就是超新星的觀測;神宗朝到北宋末,歷法以紀元歷為代表,主要成就是水運儀象臺的制造;南宋時代以編撰統天歷為著名。

      北宋初,用后周王樸的欽天歷。欽天歷在天體運動的計算中提出了等加速運動的公式,是準確的。仁宗朝用崇天歷前后達四十年。著名的天文學家楚衍參與崇天歷的編撰。在司天監任職四十多年的天文學家楊惟德,在他的著述中曾一再介紹崇天歷。崇天歷的天文數據較接近天文實際。至和元年(一○五四年)四月朔 有一次日全食。當時在汴京觀測這次日食是“日食既,至申乃見,食九分之余”。用崇天歷推算食甚時間在申正一刻二十分,食分為九分半弱,與觀測所得幾乎相同。北宋又有紀元歷,是天文學家姚舜輔等所編撰,它的求赤道坐標變換為黃道坐標的計算方法比較簡易。紀元歷中還引進了四次方程式的算法。它的各項天文數據多為金大明歷和元授時歷所采用。北宋沈括提出了十二氣歷的編制方法,雖沒有實行,但在歷法史上無疑是一項卓越的成就。

      北宋的天象觀測很有成績。對天空三十一大區(即三垣:紫微垣、太微垣、天市垣和二十八宿)恒星位置的觀測共進行了六次。大中祥符、景祐、皇祐、元豐、紹圣和崇寧年間各進行過一次。元豐時的觀測被畫成星圖,見于蘇頌的《新儀象法要》和黃裳的天文圖。一二四七年(淳祐七年)黃圖在乎江府復刊,即現存的蘇州天文圖。崇寧年間觀測到的記錄,部分載入紀元歷內,所測二十八宿距度星的平均誤差絕對值只有0°.15,已很精密。

       江蘇蘇州南宋石刻《天文圖》 北宋有兩次超新星的觀測,一次是一○○六年(景德三年),一次是一○五四年(至和元年)。前者是在司天監內觀測到的,在騎官星西,相當今天蝎宮星座,形狀如同半個月亮,四周有光芒,亮度可以鑒別物體。后者是楊惟德觀測到的。這星本來很暗淡,他觀測時忽然亮起來,星的亮度和金星差不多,四周都是光芒,顏色已達到熾白狀。這是因為星的內部結構突然變化而引起爆發,亮度增加千萬倍所致。楊惟德觀測到這顆超新星的位置在天關星附近,相當今金牛宮星座內、所以這超新星稱為一○五四年金牛座超新星。

      一○○二年(咸乎五年)司天監對獅子座流星雨的觀測,一○六四年(治平元年)沈括對隕星的觀測,一○六六年(治平三年)司天監對哈雷彗星的觀測,都很有名。沈括對這次隕星的記錄也很翔實。歷史上以隕星為隕鐵的解釋,沈括是第一人。

       元代銅壺滴漏北宋的天文儀器制造也有成就。在計時儀器方面,仁宗朝有燕肅造蓮花漏,在很多州使用。蓮花漏就是浮漏,用兩個放水壺,一個受水壺,再用兩根叫“渴烏”的細管,利用虹吸原理,把放水壺中的水,逐步放到受水壺中,使受水壺中水平面高度保持恒定。相等時間內受水壺的水流速度恒定,據以測定時間。

      元祐年間,蘇頌和韓公廉等制造水運儀象臺。這是把測量儀器的渾儀,表演儀器的渾象和計時儀器集中在一起的一項劃時代創作。這個水運儀象臺分三層,高三丈,上層放渾儀,中層放渾象,下層是傳動機械設置部分。在報時的設置上又分五層木閣。古代以一天為一百刻,又一天有十二時辰,一夜有五更,一更有五籌(五夜)。這五層木閣都能報告出來。這個儀器用水力轉動,吸收前人許多優點而發明了和鐘表中相同的擒縱器,使這儀象臺有節奏的按時轉動,把報時、觀象、測天同時表達出來。劉弇(元豐二年進士)在《龍云集》卷二《太史箴并序》一文中說:“其后筑臺,別置渾儀象,激金水其下,機擎輪吞排,晦斡明至,與造化分疾徐低昂。”推崇備至。

      南宋改歷,以寧宗朝楊忠輔的統天歷為冠。統天歷定一回歸年的長度是365.2425日,和現代通用的格列高利歷相同。后來元朝的授時歷也同這個數據。統天歷還提出了回歸年日數長度變化的法則。

      紹興年間,王及甫曾制造假天儀,見他所著的《天經》。這假天儀整個形狀象一個甕,甕里面“鉆穴為星”,把我國看不到的南天星座部分作為甕口,甕用柱撐起,甕口有四柱小梯,觀看時可以扶梯進去。這個甕還有一根軸可以轉動表演。元朝郭守敬造玲瓏儀也是一個假天儀,是王及甫工作的繼續。

      金滅北宋,把紀元歷也帶到北方,成為金楊級編大明歷的底本。一一八○年(大定二十年),趙知微重修大明歷。趙知微的貢獻有兩條,一是對太陽視運動的計算中初步用了內插法三次差的公式。二是對日月食食限的計算用了幾何方法。這都是天文計算方面進步的措施。契丹人耶律履修乙未歷,沒有實行。后來耶律履之子耶律楚材在元初修庚午歷,庚午歷內容雖十九采自趙知微的大明歷,但耶律楚材在歷法中提出了樸素的地球經度(里差)概念,也是我國古代天文學上的一項創見。又據《金史·天文志》,興定五年(一二二一年)司天臺內還有女真族天文學家夾谷德玉擔任天象觀測工作。

      金朝從北宋得到的天文儀器,放在法物庫內擱置了二十多年。一一五四年(貞元二年)始交司天臺管理。貞祐南渡后沒有搬回開封。又因當時銅的缺乏,在開封也沒有造新的渾儀。據《金史·章宗紀》,承安四年(一一九九年)有丑和尚進浮漏、水稱、影儀、簡儀等圖,當時“命有司依式造之。”浮漏即指蓮花漏。水稱在北宋水運儀象臺中約相同于天衡。影儀和簡儀的內容不詳(可能為后來郭守敬造簡儀和景符時所據)。

      明昌年間,張行簡又造星丸漏,比較新穎。星丸漏北宋叫輥彈漏刻,很少記載,相傳是后唐僧人文浩所發明。利用一銅丸,通過四個曲折的孔道,從上放入自下落出,保持恒定速度而測定時刻,在行軍和旅途中應用。后來元朝都城用的碑漏,也是星丸漏的一種。又據《金史·章宗紀》,泰和四年(一二○四年)司天臺長行張翼曾進《天象傳》。長行是司天臺內的散職官名,《天象傳》當是天象記錄的專書。

      元朝天文學以郭守敬等人編制授時歷為其高潮。清代所編《疇人傳·郭守敬傳》說:“推步之術,測與算二者而已。簡儀、仰儀、景符、幾之制,前此言測候者未之及也;垛疊招差、勾股弧矢之法,前此言算造者弗能用也。先之以精測,繼之以密算,上考下求,若應準繩,施行于世,垂四百年。可謂集古法之大成,為將來之典要者矣。”這不獨是對郭守敬等人的評價,也是我國古代天文學的總結。測是觀測,代表儀象;算是歷算,代表歷法。先通過觀測實踐,再通過計算實踐,所得結論是“若應準繩”,便以為法。一二八○年(至元十七年)授時歷編成,郭守敬等人在給忽必烈的奏報中說:自西漢三統歷到北宋紀元歷共一千一百八十多年,歷法改了七十次,其中新創法的有十三家。從紀元歷到至元十七年又一百七十多年,授時歷考正凡七事,新創法又五事。按授時歷中考正七事都是對天文數據的重新測定。包括冬至時刻、回歸年長度、太陽的位置、月亮的位置、交食的辰刻、二十八宿距度和太陽出入時刻。其中測二十八宿距度比北宋崇寧年間觀測的還要精細。回歸年長度則采用了統天歷的數據而加以詳細證明。創法五事都是對天文計算的改革,可歸納為兩點,一是全面用內插法三次差計算并定出公式,即所謂“垛疊招差”。二是引進了球面直角三角形法,即所謂“立渾比量”。

      授時歷的完成主要歸功于郭守敬在儀象觀測上的貢獻。在天文儀器制造上郭守敬確有驚人的創造力。他十五六歲時即致力于這方面的工作,一直到大德年間將近七十高齡還造天文鐘呈進。專研于此,達半個世紀。郭守敬在天文儀器制造方面勇于創新,力求提高精確度和切合實用。元以前的渾儀上有七八個大小的環,環環相套,在觀測上妨礙視線。郭守敬造簡儀以簡化渾儀,只保留了兩套觀測用環,一個是測量赤道坐標,一個是測量地平坐標。元以前的圭表高八尺,郭守敬造高四十尺的銅表比舊有的表高五倍,這樣對測量日影長度的相對誤差可減少到五分之一,測量的精確度大為提高。又在高表上設置了景符,能測量到太陽圓面中心的精確位置。他又造七寶燈漏、柜香漏、屏風香漏等計時設置,都是根據不同要求而制造使用的。

      元朝在天文學上還有一項重要的成就,即一二七九年(至元十六年)的大規模緯度測量。這次測量在二十七個觀測站舉行,地理緯度從北緯15°到65°。觀測 河南登封元代觀星臺的結果在陜西行省、河南行省和中書省直轄地的十四個觀測點用緯度值來比較,平均誤差在半度以內。可見觀測的精細可貴。

      數學與天文學關系密切的數學,宋元時代也很發達,出現了好幾位有成就的數學家。北宋有賈憲,南宋末有秦九韶和楊輝,金末有李冶,元初有朱世杰。秦、楊、李、朱是金元之際數學上的四大家。

      賈憲是天文學家楚衍晚年的學生,做過右班殿直和左班殿直。時在沈括之前。王洙《談錄》上說:“賈憲運算亦妙,有書傳于世。”賈憲在數學上的發明有二:一是開方作法本源圖,就是指數為正整數的二項式定理系數表,從商除、平方、立方、四次方一直到六次方的系數列成一個圖,世稱賈憲三角形。比西方同樣的巴斯加三角形要早六百年。二是增乘開方法,是解一元多次方程求正根的一種簡便方法。這種方法也比西方為早。商除是一次,平方是二次(是面積),立方是三次(是體積),這都容易理解。再進一步碰到四次是什么,要突破這一點,確實很非凡,開四次方可以,則開多次方便可類推了。賈憲為我國古代代數學的發展奠定了基礎。

      賈憲以后,沈括在數學上也做了些工作。一項叫會圓術,就是已知弓形的弦和圓徑求弧長。在我國歷史上首先提出孤線與直線的關系,但沈括的結論還是一近似公式(這公式元朝郭守敬等人撰授時歷時用到它)。又一項叫隙積術,用到一種高階等差級數求和的方法。沈括還發明了指數相乘的法則。物理學上凹面鏡成倒像的解釋,沈括說籮家叫“格術”。天文學上推算五星運動的順逆留合,沈括說算家叫“綴術”。測量學上的審方面勢,沈括說算家叫“喜術”。當時對待數學和其他科學的關系,于此可見。

      秦九韶,南宋未普州安岳人。早年曾在杭州從隱君子受數學。一二四七年(淳枯七年)著《數書九章》一書。他在著作中發展了賈憲的增乘開方法,解一個一元十次方程式,并附有算圖。算圖中列算式如層層剝筍,秩序井然,所以現在還有人把增乘開方法叫“秦九韶程序”。秦九韶還發明了整數論中一次同余式組的普遍解法,這就是聞名世界的中國剩余定理。

      金代,數學上發明了天元術。大約金中時開始流行,之后得到迅速的推進。一一八四年(大定二十四年),平陽畢履道為了校訂地理書用到當時流行的算法。又有平陽人蔣周著《益古》一書,記錄了天元術。還有金都水監頒印的《河防通議》(約在明昌年間)也有算法講到天元術。蔣周這部書已伏,《河防通議》中的算法可以從元人引用中得知。最早的天元術比較簡單,立出算式只是解一個一元二次方程。天元術發明后,平陽、太原、東平、真定等地區廣為傳播。

      天元術以“元”代表未知數X,以“太”代表常數項。列式時把元字寫在算碼的右側,如11元即表示2x,或單寫太,如11太也同。寫了元便不寫太,寫了太便不寫元。方程式的各項是從下而上,即太在元下,太是常數項,元是X項,元上是X2項,再上是X3項等等。太下是1/X(即X-1)項,再下是X-2項等等。也有記法從上而下恰恰相反。在用算籌排列時,正數用紅色籌。負數用黑色籌。用算碼時,正負數也用紅黑色區別,但為了書寫方便,可在算碼的個位數加一斜撇,如-2作■,-231作‖川卜。天元術的方法一般是根據問題中已有條件,立天元一(x)為未知數(所求數),最后列出方程式,解方程得數。至于解方程式在一元三次以上,就要用到賈憲的方法。

      金末在真定府一帶流傳的一部數學著作叫《洞淵測圓》,指演算勾股容圓(直角三角形的內接圓)算題共有十三問。李冶根據此書加以推廣,又集天元術的大成,寫出了他的名著《測圓海鏡》。

      天元術出現后,很自然地發展為天地二元木,天地人三元術和天地人物四元術。這大概已是元代的事了。

      現在流傳下來的元代數學著作有:《錦囊啟源》、《透廉細草》、《丁巨算法》(一三五五年),只存輯本;《算法全能集》、《詳明算法》、《算學啟蒙》(一二九九年)、《四元玉鑒》(一三○三年)存有足本。后兩書都是朱世杰所撰。朱世杰是元朝數學家的代表,也是當時世界上杰出的數學家之一。

      朱世杰在數學上的貢獻主要是發明四元術和多種高階等差級數求和方法。他是一位數學教習,周游湖海二十余年。他的數學實踐活動大約在元朝初期。由天元術發展到四元術是當時數學演算中的必然結果。四元術以天地人物表示四個未知數,天在下,地在左,人在右,物在上,中間是太。和天元術的表示法相類,太(常數項)下面是天的一次方、二次方等等,左邊是地的一次方、二次方等等,右邊是人的一次方、二次方等等,上面是物的一次方、二次方等等。如果天與地相乘則放在左下方各位置,地物、物人、人天相乘類似。只有不相鄰的天物(上下)、地人(左右)相乘各項,則放在相應的夾縫內。四元術的計算方法用四元消法,把四個元經過剔消,最后剩下一個元。這個元如果不是天元,可以易位。然后用天元術的解法,求得答案。《四元玉鑒》的一篇序文上說:“上升下降,左右進退。互通變化,乘除往來。用假象真,以虛問實。錯綜正負,分成四式。”這種數學思想的形成是經過了比較復雜的思辯過程。在我國古代數學中明確提出數學“用假象真,以虛問實”,這還是第一次。

      朱世杰的多種高階等差級數求和方法,古代叫垛積術。他以茭草垛(即一加二加三加四……)為母垛,推演出各種不同方式的垛而求其積。其名稱有英草落一形、三角落一形、撤星更落一形等十多種。朱世杰在垛積命名和演算上都掌握了演繹歸納的初步方法,他演算的結果和推導的公式都很準確。朱世杰這方面的工作,在當時的世界上也是先進的。

      由于手工業生產的發達,商業上交換的頻繁,宋元時代實用算術方面也有很大的進展。第一是發明了除法口訣。第二是出現了完整的算碼。第三是計算工具由籌算發展為珠算。

      簡易乘除法在唐中葉已有人注意。北宋初徐仁美設“增成立一”法,沈括說:“增成一法,都不用乘除,但補虧就盈而已。假如欲九除者增一便是,八除者增二便是。”九除增一和八除增二就是后來的九一下加一和八一下加二等句。同時,宋初的應天歷內提到身外除一、身外除三等,身外除一指除數是十一,身外除三指除數是十二。可知除法口訣在宋初已開始有了萌芽。這一新生事物很快為廣大人民所掌握,到南宋末和元初,除法九歸的口訣便全部成熟了。二一添作五、三一三十一等句在計算技術中傳誦開來。又在田畝計算中發明了飛歸。在斤兩換算中,創造出斤求兩和兩求斤炔。記錄簡易乘除法的專書應推南宋末楊輝的著作。楊輝是錢塘人,著有《楊輝算法》,對后來省算工作的推廣影響很大。

      南宋出現了算碼,關鍵是零符號的發明。南宋蔡沈的《律呂成書》內,把118098用文字表示為十一萬八千□□九十八,這□□即代表空百。畫方時一快便變成○了 。大約江南在南宋未,北方在金末元初,數學著述中都出現了○的符號。零的發現是數學史上一件大事。北宋司馬光《潛虛》中曾經以×表示四。這樣我國算碼的初步形體是|||川 乂 ò■■■義,后來書寫ò變成8,義變為夂為文。這就是后世所說的蘇州碼子字。在阿拉伯數碼字推廣使用以前,我國數學上的演算,商業上的會計都用這種算碼。

      元代已普遍使用算盤。劉因《靜修先生文集》中有算盤詩。元劇中也見算盤。元末明初陶宗儀的《輟耕錄》已論算盤珠。近年發現洪武辛亥(一三七一年)金陵王氏勤有書堂新刊《對相四言雜字》(看圖識字書)有算盤圖,十檔,上二珠下五珠。這是目前發現最早的珠算算盤圖。這部《對相四言雜字》中圖繪的服裝純是元代式樣,知此書的租本當在元代。書中還有算子圖,算子即算籌。《水滸傳》中所稱的算子也即這種算籌。由此看來,元朝到明初仍是籌算和珠算并用時代,大概到明中葉以后,便廢棄籌算而專用珠算。

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